A Few Tips On Writing Papers With Mathematical Content [Tsitsiklis]

[mklabgr]

ΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΜΒΟΥΛΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΓΡΑΦΗ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ

John N. Tsitsiklis — MIT | jnt@mit.edu
Οκτώβριος 2009 · Παρούσα έκδοση: 13 Δεκεμβρίου 2020

---

Περίληψη. Παρέχουμε έναν αριθμό προτάσεων για τη συγγραφή επιστημονικών εργασιών με σημαντικό μαθηματικό περιεχόμενο. Εξετάζουμε ζητήματα που αφορούν τη γενική δομή του εγγράφου (π.χ. οργάνωση ενοτήτων) και το ύφος (π.χ. συμβολισμός), καθώς και ζητήματα που φαίνονται δευτερεύουσες λεπτομέρειες.

---

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή
   
2. Πριν Αρχίσετε
   
3. Δομή Εγγράφου
   • 3.1 Τυπική δομή
     
   • 3.2 Γενικοί κανόνες
     
   • 3.3 Η περίληψη
     
   • 3.4 Η εισαγωγή
     
   • 3.5 Τα συμπεράσματα
     
   • 3.6 Παραρτήματα
     
4. Γενικές Πτυχές Συγγραφικού Ύφους
   
5. Γενικό Μαθηματικό Ύφος
   
6. Λεπτομερή Στοιχεία Ύφους
   • 6.1 Λεπτομερείς πτυχές πεζής γραφής
     
   • 6.2 Λεπτομερείς πτυχές μαθηματικού ύφους
     
   • 6.3 Στοιχειοθεσία
     
7. Χρήσιμες Αναφορές
   

---

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο κύριος στόχος της συγγραφής μιας εργασίας είναι, κατά τεκμήριο, η μεταφορά πληροφοριών στους αναγνώστες. Συνεπώς, συμφέρει τον συγγραφέα να διευκολύνει αυτή τη μεταφορά. Ως παράπλευρο όφελος, εφόσον η τεχνική συνεισφορά είναι στέρεη, μια καλογραμμένη εργασία έχει υψηλές πιθανότητες να γίνει αποδεκτή για δημοσίευση με μόνο μικρές αναθεωρήσεις.

Διαφορετικά πεδία έχουν κάπως διαφορετικά ύφη και συμβάσεις. Οι παρούσες σημειώσεις είναι πιθανώς πιο χρήσιμες για τη συγγραφή στη διασταύρωση εφαρμοσμένων μαθηματικών και μηχανικής — π.χ. συστήματα, έλεγχος, βελτιστοποίηση, επιχειρησιακή έρευνα, εφαρμοσμένη πιθανότητα κ.λπ. — όπου το περιεχόμενο είναι κυρίως μαθηματικό και όχι πειραματικό.

Οι οδηγίες που ακολουθούν βασίζονται σε συνδυασμό της δικής μας εμπειρίας και προγενέστερων κειμένων άλλων στο ίδιο θέμα. Δεν υπάρχει καμία αξίωση πρωτοτυπίας. Πολλά από τα σημεία που αναφέρονται παρακάτω λαμβάνονται απευθείας από τις πηγές που αναφέρονται στο τέλος, ειδικά από τους «Δέκα Απλούς Κανόνες» του Δ. Μπερτσεκά.

Το παρόν έγγραφο διατηρείται σκόπιμα σύντομο, με την ελπίδα ότι θα διαβαστεί. Επιλέξαμε να τονίσουμε εκείνα τα ζητήματα που έχουν προκύψει σε σχεδόν κάθε εργασία που ο συγγραφέας έχει γράψει ή επιμεληθεί.

---

2. ΠΡΙΝ ΑΡΧΙΣΕΤΕ

1. Κοινό. Έχετε ένα συγκεκριμένο κοινό στο μυαλό σας· π.χ. τους συναδέλφους φοιτητές σας, τους ειδικούς, τους συμμετέχοντες σε συνέδριο, τους προπτυχιακούς, ή τους παππούδες σας, και απευθυνθείτε σε αυτούς. Η επιλογή κοινού καθορίζει τις προϋπάρχουσες γνώσεις που μπορούν να θεωρηθούν δεδομένες και το επίπεδο λεπτομέρειας που πρέπει να παρέχεται.

2. Το κύριο σημείο. Ποιο είναι το κύριο σημείο (ή ένας μικρός αριθμός κύριων σημείων) της εργασίας; Γιατί πρέπει να υπάρχει αυτή η εργασία;

3. Φτιάξτε έναν πίνακα περιεχομένων. Επιπλέον, για κάθε ενότητα και υποενότητα, σημειώστε μερικές κουκκίδες σχετικά με το προτιθέμενο περιεχόμενό τους.

4. Συλλέξτε τα αποτελέσματά σας. Γράψτε ακριβείς διατυπώσεις των κύριων θεωρημάτων και λημμάτων. Βεβαιωθείτε ότι έχετε αποδείξεις ή είστε πλήρως σίγουροι ότι μπορείτε να τις παράγετε.

5. Συμβολισμός. Καταγράψτε τον συμβολισμό που θα χρησιμοποιείτε σε ξεχωριστό φύλλο. Ελέγξτε για συνέπεια, συγκρούσεις και απλότητα. Επιλέξτε τον συμβολισμό που βρίσκετε πιο βολικό και ακολουθήστε τον. Μόλις έχετε ένα πλήρες προσχέδιο, ελέγξτε το έγγραφο για συνέπεια. Η πρώιμη συμφωνία για τον συμβολισμό είναι ιδιαίτερα σημαντική όταν εμπλέκονται πολλοί συγγραφείς.

6. Ορολογία. Επιλέξτε την προτιμώμενη ορολογία σας και ακολουθήστε την. Η επιλογή είναι μερικές φορές αυθαίρετη, αλλά πρέπει να είστε συνεπείς. Στην πραγματική ζωή, οι εργασίες αλλάζουν ενώ γράφονται (ξανά), και οι επιλογές σας πιθανώς να εξελιχθούν. Παρ' όλα αυτά, με το να είστε συστηματικοί, θα ελαχιστοποιήσετε τα λάθη και θα εξοικονομήσετε χρόνο μακροπρόθεσμα.

---

3. ΔΟΜΗ ΕΓΓΡΑΦΟΥ

3.1 Τυπική δομή

Η ακόλουθη είναι μια συνηθισμένη δομή:

1. Περίληψη
   
2. Εισαγωγή
   
3. Το Μοντέλο
   
4. Προκαταρκτικά (προαιρετικό· αποφύγετέ το αν μπορείτε, γιατί αυξάνει τον χρόνο μέχρι ο αναγνώστης να φτάσει στον πυρήνα της εργασίας)
   
5. Αποτελέσματα (συνήθως 1–4 ενότητες)
   
6. Συμπεράσματα
   
7. Παραρτήματα
   

3.2 Γενικοί κανόνες

Μέγεθος. Οι ενότητες πρέπει να έχουν διαχειρίσιμο μέγεθος, με ένα σαφές θέμα σε κάθε ενότητα. Οι μεγάλες ενότητες πρέπει να χωρίζονται σε υποενότητες· ιδανικά, καταλήγετε σε μονάδες 1–3 σελίδων.

Καθοδήγηση. Κάθε ενότητα πρέπει να ξεκινά με κάποια καθοδήγηση για το τι πρόκειται να ακολουθήσει. Ομοίως, στο τέλος μιας ενότητας, μπορείτε να συνοψίσετε τι έχει επιτευχθεί και πιθανώς να αναφέρετε τι ακολουθεί.

Ενότητες-μονάδες. Μια τυπική μονάδα αποτελείται από διάφορα στοιχεία όπως: εισαγωγή, θεωρήματα, λήμματα, αποδείξεις, ορισμοί, υποθέσεις, επεξηγήσεις, σχήματα, πίνακες, παραδείγματα και αντιπαραδείγματα.

3.3 Η περίληψη

Η περίληψη πρέπει να είναι συνοπτική και στην ουσία. Μην δίνετε ιστορία του θέματος, υπόβαθρο, κίνητρο, ή να κάνετε marketing. Χρησιμοποιήστε απλές, κατηγορηματικές προτάσεις. Μια συνηθισμένη δομή είναι «Εξετάζουμε...» ακολουθούμενο από «Δείχνουμε ότι...». Χρησιμοποιήστε ελάχιστα μαθηματικά σύμβολα.

3.4 Η εισαγωγή

Μια γενικά ανεπιθύμητη αλλά αρκετά συνηθισμένη πρακτική είναι να ξεκινάτε με υπόβαθρο και ιστορία, πριν πείτε στον αναγνώστη για το κύριο περιεχόμενο της εργασίας. Αντίθετα, ξεκινήστε θέτοντας το πλαίσιο: «Σε αυτή την εργασία αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα...». Συνεχίστε ενδεχομένως με κάποιο κίνητρο και στη συνέχεια δώστε το υπόβαθρο και την ιστορία του θέματος. Μην απαριθμείτε απλώς σχετικές εργασίες· τοποθετήστε τη δουλειά σας σε πλαίσιο συγκρίνοντάς την με τις πιο κοντινές εργασίες στη βιβλιογραφία.

Κλείστε με μια παράγραφο της μορφής: «Το υπόλοιπο της εργασίας οργανώνεται ως εξής...»

3.5 Τα συμπεράσματα

Πολλές εργασίες περιλαμβάνουν μια ενότητα συμπερασμάτων που είναι απλώς μια περίληψη της εργασίας και σπάνια διαβάζεται. Ιδανικά, το περιεχόμενο μιας τέτοιας περίληψης έχει ήδη μεταδοθεί στην εισαγωγή. Αντί αυτού, επιλέξτε να τονίσετε βασικές ιδέες που αναδύθηκαν στο σώμα της εργασίας, και στη συνέχεια συζητήστε τι μπορεί να ακολουθεί: εικασίες, ανοιχτά προβλήματα, προφανείς και πιθανές επεκτάσεις, εναλλακτικά μοντέλα κ.λπ.

3.6 Παραρτήματα

Χρησιμοποιήστε παραρτήματα για περίπλοκες αποδείξεις που μπορεί να διακόψουν τη συνέχεια, ή για απλές αποδείξεις που είναι αναγκαίες για πληρότητα. Σε κάθε περίπτωση, το κύριο κείμενο πρέπει να είναι αυτοτελές· ο αναγνώστης πρέπει να μπορεί να διαβάσει το κύριο κείμενο χωρίς ποτέ να ανατρέξει στο παράρτημα.

---

4. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΤΥΧΕΣ ΣΥΓΓΡΑΦΙΚΟΥ ΥΦΟΥΣ

1. Εκτός αν έχετε τεράστια εμπιστοσύνη στις συγγραφικές σας ικανότητες, χωρίστε τις μακριές προτάσεις σε πολλαπλές σύντομες προτάσεις.
   
2. Επιλέξτε μια φωνή και αντωνυμία και χρησιμοποιήστε την συνεπώς. Η ενεργητική σύνταξη («Θα δείξουμε...») είναι προτιμότερη από την παθητική («Θα δειχθεί...»). Το «Εμείς» είναι προτιμότερο από το «Εγώ». Αποφύγετε το «κανείς».
   
3. Ως εξαίρεση, μπορείτε να μεταβείτε σε παθητική σύνταξη γράφοντας «Μπορεί να δειχθεί ότι...» για να παραλείψετε ένα στοιχειώδες επιχείρημα.
   
4. Χρησιμοποιήστε παράλληλες κατασκευές, ακόμα και αν το αποτέλεσμα φαίνεται επαναληπτικό.
   

---

5. ΓΕΝΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΦΟΣ

1. Η απόδειξη θεωρημάτων ταυτόχρονα με τη στοιχειοθεσία είναι μια δυσλειτουργική συνύπαρξη. Γράψτε όλα τα μαθηματικά κομμάτια της απόδειξής σας με μολύβι και χαρτί. Ελέγξτε την απόδειξή σας για ορθότητα. Αφού πεισθείτε, προχωρήστε στη στοιχειοθεσία.
   
2. Χωρίστε τις μακριές προτάσεις σε πολλαπλές — αυτό ισχύει ακόμα περισσότερο όταν εμπλέκονται μαθηματικά.
   
3. Το σπάσιμο μακριών προτάσεων επιβάλλει μια γραμμική δομή στο επιχείρημά σας, κάτι πολύτιμο για τον αναγνώστη.
   
4. Βεβαιωθείτε ότι έχετε ορίσει κάθε σύμβολο που χρησιμοποιείτε.
   
5. Οι διατυπώσεις θεωρημάτων ή λημμάτων πρέπει να είναι όσο πιο σύντομες και συνοπτικές γίνεται. Ορίστε τους σχετικούς όρους πριν από την επίσημη διατύπωση.
   
6. Μια διατύπωση θεωρήματος δεν πρέπει να περιλαμβάνει συζήτηση συνεπειών. Αυτές αναπτύσσονται έξω από την επίσημη διατύπωση.
   
7. Εισάγετε μνημονικούς όρους ή ετικέτες — είναι πολύ πιο εύκολο να διαβάζει κανείς «η συνθήκη εκφυλισμού (3.1)» παρά «Συνθήκη (3.1)».
   
8. Στοχεύετε πάντα σε γραμμικές αποδείξεις με προωθητική δομή. Οι αποδείξεις προς τα πίσω είναι δύσκολο να παρακολουθηθούν.
   
9. Υπάρχουν εξαιρέσεις στον κανόνα γραμμικότητας — π.χ. αποδείξεις ενδιάμεσων αποτελεσμάτων που αναβάλλονται σε παράρτημα.
   
10. Είναι συχνά χρήσιμο να συνοψίζετε την κύρια ιδέα ή τη ροή μιας απόδειξης — ιδανικά έξω από την τυπική απόδειξη.
    
11. Μην χρησιμοποιείτε το τέχνασμα «Voilà!»: η διατύπωση του θεωρήματος πρέπει να προηγείται της απόδειξης.
    
12. Χρησιμοποιήστε παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Πείστε τον αναγνώστη ότι οι υποθέσεις σας υπάρχουν για έναν λόγο.
    
13. Χρησιμοποιήστε σχήματα για να εικονογραφήσετε τα αποτελέσματά σας και να παρέχετε διαίσθηση.
    
14. Πάντα να στοχεύετε στην ελαχιστοποίηση της προσπάθειας του αναγνώστη.
    
15. Προσέξτε τους διφορούμενους ποσοδείκτες. Η φράση «για κάθε n, έχουμε n < c, για κάποιο c» μπορεί να σημαίνει «∀n ∃c» ή «∃c ∀n» — διευκρινίστε πάντα.
    
16. Η ασάφεια ποσοδείκτη κρύβεται συχνά μέσα στη σημειογραφία τάξης μεγέθους. Η διατύπωση f(n) = O(n²) είναι αδιφορούμενη, αλλά εκφράσεις όπως «T = O(n^d)» χρησιμοποιούνται με διαφορετικές έννοιες και πρέπει να αποσαφηνίζονται.
    

---

6. ΛΕΠΤΟΜΕΡΗ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΦΟΥΣ

6.1 Λεπτομερείς πτυχές πεζής γραφής

1. Διαβάστε κάθε πρόταση για να εντοπίσετε και να αφαιρέσετε περιττές λέξεις ή προτασιακές φράσεις.
   
2. Ο προηγούμενος κανόνας δεν ισχύει όταν μια επιπλέον λέξη («τότε», «ότι») διευκολύνει την ανάλυση της πρότασης.
   
3. Κάθε φορά που χρησιμοποιείτε δεικτικές λέξεις («αυτό», «αυτοί», «εκείνο», «ο οποίος» κ.λπ.), βεβαιωθείτε ότι δεν υπάρχει ασάφεια σχετικά με το τι αναφέρονται.
   
4. Γράψτε με κεφαλαίο λέξεις όπως «Ενότητα», «Κεφάλαιο», «Θεώρημα» κ.λπ., όταν αναφέρονται σε συγκεκριμένη ενότητα/κεφάλαιο/θεώρημα.
   
5. Να είστε συνεπείς στη χρήση κόμματος μετά από εισαγωγικές φράσεις.
   
6. Να είστε προσεκτικοί με τη σωστή χρήση τελείας και κόμματος — ιδιαίτερα με συντομογραφίες όπως «π.χ.», «δηλ.», «βλ.» κ.α.
   
7. Αποφύγετε φράσεις όπως «εύκολο», «τετριμμένο», «προφανές» κ.λπ.
   

6.2 Λεπτομερείς πτυχές μαθηματικού ύφους

1. Ο αναγνώστης πρέπει να μπορεί να διαβάζει προτάσεις με μαθηματικά σαν κανονικές προτάσεις.
   
2. Μην ξεκινάτε μια πρόταση με μαθηματικό σύμβολο.
   
3. Μην χρησιμοποιείτε ∃ ή ∀ στο κείμενο. (Ωστόσο, το σύμβολο ∈ είναι αποδεκτό.)
   
4. Μην εισάγετε περιττά σύμβολα. Π.χ. αντικαταστήστε «κάθε πρώτος αριθμός p είναι μονός» με «κάθε πρώτος αριθμός είναι μονός».
   
5. Μην εισάγετε νέα σημειογραφία ως συντομογραφία για εκφράσεις που εμφανίζονται μόνο μία ή δύο φορές.
   
6. Στίξτε προτάσεις που περιλαμβάνουν μαθηματικές εκφράσεις σαν να ήταν κανονικές προτάσεις.
   
7. Μην πείτε «η βέλτιστη λύση» αν δεν έχετε αποδείξει μοναδικότητα. Πείτε «μια βέλτιστη λύση».
   

6.3 Στοιχειοθεσία

Η προσοχή στα ζητήματα στοιχειοθεσίας έχει τρεις λόγους: (α) καλύτερη αισθητική → πιο ικανοποιημένος αναγνώστης· (β) μειώνεται η προσπάθεια ανάλυσης μαθηματικών εκφράσεων· (γ) στέλνει σήμα στον αναγνώστη ότι έχετε εργαστεί προσεκτικά στην εργασία σας.

1. Η προεπιλεγμένη περιβάλλουσα του LaTeX για θεωρήματα/λήμματα/ορισμούς χρησιμοποιεί πλάγια γραμματοσειρά. Η τοποθέτησή τους σε πλαίσιο είναι πιο αποτελεσματική.
   
2. Νεοεισαχθέντες όροι μπορούν να τονιστούν με έντονη ή πλάγια γραφή.
   
3. Αποφύγετε τα ενσωματωμένα κλάσματα (x+2/x+3) — γράψτε (x+2)/(x+3).
   
4. Μάθετε και εφαρμόστε τους κανόνες για σπάσιμο και ευθυγράμμιση πολυγραμμικών εξισώσεων.
   
5. Εισάγετε κενά για να βοηθήσετε τον αναγνώστη (π.χ. f(x) < y, ∀ y > 0 αντί για f(x) < y, ∀y > 0).
   
6. Γράψτε «Εξ. (2.1)» με κενό μετά την τελεία, αντί για «Εξ.(2.1)».
   
7. Αντικαταστήστε «{x|x ∈ ℝ}» με «{x | x ∈ ℝ}».
   
8. Χρησιμοποιήστε μεγάλες εξωτερικές παρενθέσεις όπου χρειάζεται για αναγνωσιμότητα.
   
9. Χρησιμοποιήστε ‖x‖ αντί για ||x||.
   
10. Θυμηθείτε ότι τα αριστερά εισαγωγικά απαιτούν δύο πλήκτρα στο LaTeX.
    
11. Όροι όπως «inf», «sup» και «max» πρέπει να τίθενται σε ρωμαϊκή, όχι μαθηματική, γραμματοσειρά.
    
12. Χρησιμοποιήστε ℝ για να δηλώσετε τους πραγματικούς αριθμούς.
    
13. Προσθέστε μικρά οριζόντια διαστήματα μέσα στους τύπους για καλύτερη αναγνωσιμότητα (εντολή \, στο LaTeX).
    
14. Για περίπλοκη σημειογραφία, ορίστε μακροεντολές (macros) στο LaTeX.
    

---

7. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

• Paul Halmos — «How to Write Mathematics» Διαθέσιμο εδώ
  
• Knuth κ.α. — «Mathematical Writing» Διαθέσιμο εδώ (οι 27 κανόνες στις πρώτες 6 σελίδες είναι ιδιαίτερα πολύτιμοι)
  
• Steven Kleiman — «Writing a Math Phase Two Paper» Διαθέσιμο εδώ
  
• Dimitri Bertsekas — «Ten Simple Rules for Mathematical Writing» Διαθέσιμο εδώ
  

---

Μετάφραση από το πρωτότυπο αγγλικό κείμενο του J. N. Tsitsiklis (MIT, 2020)